我们知道，「算 24 」通常会伴随着「4 张扑克牌」，也就是四张点数 1~13 的牌。
学过排列组合，我们能很容易算出，4 个 1~13 的正整数一共有 个不同的组合，通过简单的 编程穷举，可以知道一共有 1362 个组合是有解的，有解率为 74.83%。
（如果是 1~10，那么一共有 715 个组合，其中 566 个有解，有解率 为 79.16%。）
我们知道，大部分题目都是很简单的，即使是普通人，也花不了 5 秒钟，但也有一些比较难的题，普通人平均需要花超过 1 分钟的时间才能算出来。
后来，有一个叫「4数网」的网站，开始邀请网友们去在线「算 24」，并统计大家解题所需要的时间，目前已经有了接近 500 万的解题样本。
根据统计的结果，我们发现，对于 90% 的有解题目，网友们都能在 20 秒内解开（1227/1362），但是也有超过 3% 的题目（43/1362），网友们平均要花超过 1 分钟，其中「最难」的 4 道题，网友们平均要花超过 3 分钟！
感兴趣的话，大家可以试着先做一下平均耗时最长的 30 道题：
2 3 5 12 / 1 3 4 6 / 1 4 5 6 / 2 5 5 10 / 3 5 7 13 / 3 7 9 13
2 4 10 10 / 2 4 7 12 / 1 8 12 12 / 2 9 13 13 / 3 6 6 11/ 3 3 5 7
9 11 12 13 / 3 3 8 8 / 1 6 6 8 / 2 2 10 11 / 2 3 8 13 / 2 7 7 10
5 7 11 11 / 7 8 10 11 / 3 3 7 13 / 3 8 8 10 / 4 8 8 13 / 5 5 7 11
4 8 8 11 / 7 8 8 13 / 2 5 7 8 / 6 9 9 10 /1 4 7 11 / 5 6 9 11
下面是针对这些问题的分析。
我简单地总结了一下，那些难题通常有以下特征（只列出消耗时间大于 50 秒的问题共 57 道）：
在这些问题中，一般都会有 24 的约数，即 2/3/4/6/8/12 等，有时甚至有 2 个或 3 个，让人觉得都能用简单的乘法解决，误导玩家。但事实上，最后的解法大多唯一，并且没有用到乘法，而是除法，并且在运算过程中存在分数/小数的形式。
比如平均耗时最长的题：2，3，5，12，就是典型的这类题。4 个数里有 3 个 24 的约数，但是最后的解答却和乘法没有任何关系，题主提到的 1，4，5，6属于这个类型。
这样的题确实容易不容易发现解法，所以一旦出现了，排名都很靠前，它包揽了耗时前 3 名。好在，这样的题一共只有 6 道。
这样的「难题」有：
问题 平均耗时 耗时排名 解决率
2 3 5 12 208 1 20%
1 3 4 6 200 2 27%
1 4 5 6 194 3 29%
1 8 12 12 104 9 29%
3 3 8 8 97 14 31%
1 6 6 8 96 15 30%
主要是大家对 24 倍数不太敏感，72，96，144 等等。
问题 平均耗时 耗时排名 解决率
3 5 7 13 112 5 24%
3 6 6 11 104 11 27%
3 8 8 10 88 22 29%
4 8 8 13 85 23 29%
4 8 8 11 85 25 30%
6 11 12 12 62 39 37%
4 4 10 10 57 46 40%
6 12 12 13 55 51 39%
1 6 11 13 53 54 38%
因为是乘法，所以比除法要简单一些，值得一提的是，这样的题很有特点，大部分都会有重复的数字，让人很容易做过一遍就记住，所以大家做起来反而快。
问题 平均耗时 耗时排名 解决率
2 5 5 10 182 4 22%
2 4 10 10 10 87 26%
2 7 7 10 91 18 27%
5 5 7 11 89 19 26%
5 7 7 11 85 24 27%
2 2 13 13 62 41 38%
2 2 11 11 56 48 40%
4 4 7 7 54 52 39%
另外，像经典的 3 3 7 7，1 5 5 5，本身并不容易，但因为太有特点，大家都了然于胸，耗时反而都没到 50 秒。
常见的有 30-6，32-8，33-9，35-11 等，容易被忽略。比如排名第一的 3 7 9 13 ，是特别的 63-39（其实还有一种解法是 （7-13/3）*9，作为双解题居然耗时第 6 也比较罕见）/
问题 平均耗时 耗时排名 解决率
3 7 9 13 108 6 26%
2 4 7 12 105 8 28%
2 3 8 13 92 17 32%
1 4 7 11 74 29 35%
2 2 6 13 70 31 33%
2 7 8 9 67 32 40%
5 8 9 13 64 35 35%
5 7 10 11 64 36 35%
2 4 11 12 63 37 39%
4 7 11 13 61 43 37%
1 3 9 10 53 53 41%
3 5 8 13 51 57 41%
令人意外地，这种情况是最多的。无论是 3 8，4 6，还是 2 12 都有，尤其是 2 12，很多人都会漏看三个 等差数列可以算出 2 ；
问题 平均耗时 耗时排名 解决率
3 3 5 7 101 12 29%
9 11 12 13 99 13 28%
2 2 10 11 96 16 30%
7 8 10 11 89 20 30%
3 3 7 13 88 21 28%
7 8 8 13 83 26 30%
2 5 7 8 82 27 33%
5 6 9 11 70 30 33%
7 10 12 13 66 33 38%
5 6 8 13 65 34 37%
6 7 8 12 62 40 41%
3 5 8 12 62 42 38%
4 5 6 11 59 44 38%
4 6 7 9 58 45 42%
4 5 6 12 57 46 43%
5 7 9 12 56 49 40%
4 6 6 10 56 50 40%
8 9 10 12 51 56 43%
这种情况比较少。一般是 15+9， 13+11 等， 14+10 还蛮常见地，所以排名并不高。
问题 平均耗时间 耗时排名 解决率
2 9 13 13 104 10 25%
6 9 9 10 80 28 32%
2 5 6 9 53 55 44%
综上所述， 24 点中非常难算的题目一共就以上 6 类。其中最难的是：分数 + 除法，但一共就只有 7 题，分数 + 乘法虽然不容易，但因为很有特点容易被记住；而其他的大部分难题都有大数相除/相减。可见大家还是不习惯用大数的减法和除法的。
