你说不定积分是个无底洞，被难哭了，这确实是有道理的。
先从抽象的方面来说，设S是一个实函数的集合，满足下列条件:
①S包含全体初等函数。
②对任意f(x)∈S，都有∫f(x)dx∈S，也就是说S对不定积分的运算封闭。
③S是最小的满足条件的集合。也就是对任意满足①②的集合T，都有S⊆T。
可以说S是一个非常复杂的集合。首先S中包含非初等函数。更进一步，如果你定义任意有限种非初等函数来扩张初等函数域，得到的新域仍然不足以包含S中全部元素。再进一步，如果你定义可数无穷种初等函数来扩张初等函数域，确实可以得到一个足以包含S的新域。问题是这些函数甚至都不能用一个可计算的良序排列。比如0.1.2.3......或者0.2.4......1.3.5......都是无限数列，但任意自然数都能从某个起点开始数，在有限步之内找到。但不可计算的良序意味着给定一个有待积分的函数f(x)∈S，你不能在有限时间内从你定义的那些非初等函数的集合中，找到能和f(x)的原函数匹配的有限个元素。所以求不定积分的符号计算已经超越了图灵机的能力，至少类似停机问题，或许更高(具体我不太清楚)。
然后从具体的方面来说
事实上，好比珠心算和数学能力没什么关系，而是考察记忆力一样，单纯的去求原函数的表达式，也不太像微积分学最关心的东西，反而更类似于一种给定游戏规则的符号推理。我们知道复合求导有链式法则，就是剥洋葱一层层算，是一个和竖式乘法一样的机械过程。但是倒过来求原函数就麻烦了。直接把求导公式倒过来变成基本积分表，这很简单，问题是被积函数中很多由原函数直接求导得来的项，通过代数运算和化简，已经消掉或者约掉了，你看不出来。比如被积函数中有一个+2x，你知道原来的求导过程中，这个+2x是+5x-3x得来的，还是+100x-98x得来的吗？如果是分式或者根式或者三角函数被化简了呢，那更看不出来了。求原函数这种符号推理其实和破案有点类似，坏人不可能脑子也坏掉，上来就找到你说，我有罪，让我去坐牢赎罪吧！于是坏人就倒逼你通过他作案时的蛛丝马迹，比如被害人的指纹，被害人房间里财产被破坏的痕迹，逐步还原作案时的真相。
正如破案有基本方法(这个我不懂)，求不定积分也有基本方法，在给定基本积分表的基础上，包括凑微分，换元和分部积分。换元的目的在于去掉你看起来没头绪的部分，比如一次函数开根号，把根号整体换元后，新的积分就只含分式，根号消失了，变得容易解决。分部积分经常针对两个函数乘积的积分，而且原函数都是好几个(可能不同类的)函数之和，求导过程中一定是中间项被消掉了，变成只有一大块的被积函数。为了把这些函数还原出来，要设合适的u,v，如果u求导后得到一个简单函数，∫vdu也简单了，说明uv就是已经被消掉的其中一块，被重新还原了。其实试卷上的简单题，如∫x²e^xdx，从x²e^x→xe^x→e^x，也是还原的过程之一。哪怕是有理函数积分，为什么要分解部分分式，然后逐个积分，得到有理函数+ln+arctan形式的积分，其实倒过来看，原函数求导后也是几个小分式之和，只不过通分化简后变成一个大分式，如果你不拆开积分是看不出来的。
最后说说积不出来的问题。随机写一个初等函数，如果给定一个合理的概率模型，能得到初等原函数的概率应该是0。试卷上的题因为是从答案倒推的，专门考察你是否会某几个特定的技巧和方法，所以都有初等原函数。比如老生常谈的∫e^x^2没有初等原函数，如果你对数字敏感，应该能发现包含类似e^x^2这种项的函数求导之后，会越来越复杂，比如x²求导之后变成2x要乘下来。即使再添加一些系数和四则运算，也不可能把乘积里的x完美消掉，同时又不引入其他项。所以我们找不到一个合适的表达式，求导之后正好等于e^x^2。还有∫e^x/xdx，你通过分部积分，应该能发现对n≠0，我们总是能把x^n*e^x的积分和x^(n-1)e^x的积分互相转换。所以就有了......→x⁵e^x→x⁴e^x→.....→e^x和......→x^(-5)e^x→x^(-4)e^x→......→x^(-1)e^x这样的转换序列。问题就出在n=0这里。这些转换都依赖于幂函数求导后降一次和积分后升一次的性质，可是∫x^(-1)dx=lnx+C却不是幂函数！这导致我们无法完成x^(-1)e^x→e^x这一步，于是∫x^(-1)e^xdx也就积不出来了。
现有的数学上定义的特殊函数(非初等函数)，其中有不少是从积不出来的积分中提炼出来的。单单从求原函数角度来说，我觉得这些已有的特殊函数并不是任意设定的，而是尽力做到能比较普适的解决一大类问题。比如我们设定正弦积分函数∫sinx/xdx=Si(x)+C，是一个形式最简单但积不出来的核心模块。不但所有∫sinx/x^ndx分部积分之后都能归结为它，还有∫sin(1/x)dx和∫sinxlnxdx这些含乘积的积分也归结为它。还有幂函数和指数函数的乘积，比如∫x^0.121121112......e^xdx，无理数的指数幂靠换元和分部积分都无法解决。但我们不可能对每个这种奇葩数字都设定一个什么函数，所以有了靠积分定义的不完全Γ函数，把0.121121112......这个幂直接作为一个参数。再比如含根式的积分，根号里面是一次函数或者两个一次函数的商，可以整体换元，根号里面是二次函数，可以三角换元，利用sin²x+cos²x=1，把根号里面的东西努力配成完全平方，去掉根号。但如果根号里面是是3--4次函数，这些换元都不可能有效，只能用椭圆积分函数表示。不过椭圆积分被引入的初衷是求椭圆的周长，18世纪时天文学刚刚迅猛发展，天体运动轨道都和椭圆有关，那时候也没有计算机，倒逼着天文学家把椭圆积分当成数学的主体模块来研究。这个椭圆积分能表示一大类函数的原函数，只是附加红利而已。如果根号不是开平方，而是开立方或者更高次方，里面又是二次以上的函数，除非是特意拼凑的数字，不然的话，靠普通的换元也不可能把根号去掉。这种题的解一般来说是2F1超几何函数。最后就是三角函数，如果积不出来，因为在复数域上的三角函数和指数函数可以互相转化，所以用多重对数函数或者不完全Γ函数，有可能可以表示出来。
我前面说过集合S的极端复杂性，显然更多得多的积分，靠数学上现有的函数的有限组合(包括我上一段说的已有定义的非初等函数)，也不可能表达。一般来说，如果你看到几个不同类型的函数相加，然后一起套在一个无法拆开的结构里面(比如分式和根式)，几乎可以肯定是这种情况了。比如∫√(x³+sinx)dx或者∫1/(arctanx+3lnx)dx，这些看起来就很明显，你不需要看到这种东西还傻傻的去积。
你说什么时候能积到头，这个没办法的，好比你背π也背不到头一样。其实对所有关于无限的问题，我们能解决的都只是其中微不足道的一个渺小的有限子集。
