用《几何原本》中给出的其它定义、公理和公设，还真就没办法证明欧几里得第五公设。
也正是因为对欧几里得第五公设证明的尝试，催生出了非欧几何的诞生。
毕竟在欧几里得的那个年代，还没有人尝试发明出矩阵、向量这些数学模型，所以这时的几何，还处在研究具体图形的阶段，因此第五公设也就证不出来了。
但空间是相对的，取决于我们如何选定参考系，如何确定各点的坐标。而坐标的本质，就是一行一列矩阵或一列一行矩阵，也就是行向量或列向量（行向量和列向量都能作为坐标，但中学课本通常采用行向量）。
也就是说，如果更换几何中的基本定义，那么不是说欧几里得第五公设，而是所有原先的公理、公设将全部变成定理。也就是说，几个向量或向量的集合满足什么特点，或者满足一定特点的是什么向量或向量集合。平面几何图形就可以视作集合 ，这里的 指的就是 满足的条件。
诸如课本中“两点确定一条直线”、“两点之间线段最短”这些基本事实，按照这些新的定义，都是可以证出来的。
定义直线是集合 ，并定义 为直线的方向向量，那么平行就可以定义成方向向量线性相关，如果按照这个定义，那么就可以证明“同旁内角互补，两直线平行”（当然也可以证明“同位角相等，两直线平行”），如果再有角的定义，那么通过求解直线方程联立而成的方程组，就可以证明欧几里得的第五公设。
如果没有这个前提，按照欧几里得《几何原本》中的公理、定义和公设，证不出第五公设。
