这个问题我也看过好多，毕竟感觉 并不是特别需要要求A是对称的，但是按照绝大部分线性代数课本（中外都有）的定义正定以及半正定都是在对称矩阵的要求下的，最主要的原因是你不能只考虑 。
稍微说多一点，为什么一定要对称呢？因为如果思考 ，那么对于一个不是对称（埃尔米特）的矩阵，它的特征值是复数，那么这时候 就没有意义了。同时可以证明 。这个问题更多在二次型里有体现，如果 不是埃尔米特或者对称矩阵，那么根本没法研究了(；′⌒`)
但是如果考虑一般的问题，很多非对称实矩阵在向量给定为实数的情况下依然满足 ，这可能是你的问题来源...比如 。但是更多这样的矩阵没有对称带来的“好”性质（甚至把0换成-1就会导致性质在 复数下不成立，更没用了）：包括谱分解和对于所有特征值的性质
说的有点乱，但主要还是因为必须把问题放在一个大的环境下考虑，这样才能让定义有意义
