这个问题实际上可以推广为有关完全群的一般结果（不需要任何其他限制）
虽然上面的证明是简单且自然的，不过还是可以考虑把证明完整写出来：
注意 ，
是自然的
显然 是 的正规子群，下面证明 也是
考虑 ，得到 成立 ，假设 满足
得到 ，得到 ，即证
考虑 ，定义为
不难验证这是一个群嵌入，记其像集为
于是不难验证 是 的子群，且
当然，也可以使用
下面一个就比较显然了，根据 为群嵌入，可以直接得到：
于是这一点启发我们定义如下结果：
上面的观察不难看出，只要 是完全群，就满足 直积分解
对一切包含 的群 成立，并且此时 以及
特别地，可以得到只要 是群 的正规子群并且是完全群，则 存在正规补
也就是说此时 为群内直积，同构于外直积
注意到当 且 时， 均为完全群
于是如果此时 以及 ，其中 为某个给定的群，则只能
进一步，如果一个完全群 是群 的换位子群，则 必然成立
特别地当 且 时，不存在一个群的换位子群同构于
感兴趣的可以做一下 的情况，注意 为二阶循环群。
以上
