在处理直线与圆锥曲线相关问题如：直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题、面积问题等，常常将直线方程与圆锥曲线方程联立得到一个二(一)次方程，然后根据二(一)次函数的相关性质进行求解。
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对于联立结果为一元二次方程的，一般应用一元二次方程的韦达定理进行相应计算，因此本文将对韦达定理在圆锥曲线中的应用作以介绍，同时给出相关结论及例题加深理解。
在初中，我们便学过一元二次方程的韦达定理，即在实数范围内，若一元二次方程有两个实数根和，则有如下关系成立
该结论证明起来有很多方法，一种证明过程如下。由于和是方程的两个根，因此有
两边同乘二次系数得
展开有
显然
上述关系便称为一元二次方程的韦达定理。
设直线方程为(和不同时为零)，圆锥曲线方程为，那么联立两方程消去(或)便会得到一个关于(或)的一元方程。即有
下面以消去为例进行分析。记联立后的方程为
本文均假设，即直线与圆锥曲线有两个交点，因为若只有一个交点或无交点，该方程很容易求解，在此不做详细介绍。
结合第1小节描述便可发现，如果能够将直线方程与圆锥曲线方程联立得到一个一元二次方程，那么与这两个交点相关的问题便能够利用韦达定理进行化简。下面做详细推导分析。
注：若直线斜率不存在或斜率，则弦长非常容易计算，因此不做详细推导，在具体题目中分类讨论即可。
如下图，设斜率存在且为()的直线与圆锥曲线相交于、两点，设点坐标为，点坐标为，那么有弦长度为
证明：首先，由两点距离公式知
由于直线斜率为，则有
因此
同时
因此弦长又可表示为
由此可见，不需要求出和两点的具体值，只需要将其联立便可求得直线与圆锥曲线的交点弦长。
如下图所示，过椭圆焦点的斜率存在且为()的直线与椭圆 相交于、两点，且点坐标为，点坐标为。则的面积为
证明：的面积可计算如下
由于线段过椭圆焦点，因此与异号，则有
那么有
同时也可表示为
那么联立后根据韦达定理即可计算出的面积。
如下图所示，延长线过双曲线焦点的斜率存在且为()的直线与双曲线相交于、两点，且点坐标为，点坐标为。则的面积为
证明：的面积可计算如下
由于线段延长线过双曲线焦点，因此与同号，则有
那么有
同时也可表示为
那么联立后根据韦达定理即可计算出的面积。
如下图所示，过抛物线焦点的斜率存在且为()的直线与抛物线 相交于、两点，直线倾斜角为，且点坐标为，点坐标为。则的面积为
证明：的面积可计算如下
由于线段过抛物线焦点，因此与异号，则有
那么有
同时也可表示为
那么联立后根据韦达定理即可计算出的面积。下面联立进行求解，可得到另一种形式简洁的面积公式。联立
消去得
则根据韦达定理有
因此的面积为
又因为，代入上式得
题 已知、分别为椭圆 的左、右顶点，为上顶点，。为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为。
(1) 求的方程。
(2) 证明：直线过定点。
解：第(1)问直接将、及坐标写出来，代入即可解出，即的方程为，此处略去过程。
(2)设点坐标为，则直线方程为
联立直线及椭圆得
由韦达定理
由于，因此，代入直线方程得，即点坐标为；同理可得点坐标为。
下面用两种方法计算该定点坐标。
法1：由于点坐标为；点坐标为。设直线过定点，即有方程为
其中直线斜率为
将点和点坐标带入得
联立上述方程得
当时，若取时，恒有，即直线过定点；当时，，此时直线也过点，因此此题得证。
该方法计算量较大，可按如下思路进行求解。
法2：由于点选取是关于轴对称的，因此该定点必关于轴对称；又因为直线只能过一定点(若是过两定点，则直线便唯一确定了，不符合题意)，因此该点必在轴上。下面设该点坐标为，则由得
解得。因此直线过定点，此题得证。
通过直线与圆锥曲线方程的联立，可得到一个一元函数，当其为一元二次方程时，可根据韦达定理进行相关运算，如弦长计算、面积计算等；对于一般题目而言，利用韦达定理可得到相关等式关系，使得原问题更方便求解。若直线斜率不存在或斜率，则弦长及面积非常容易计算，只需在具体题目中分类讨论。
