谢邀，非常好的问题。
我也是看了论文之后才知道的证明。证明总体用到的知识不难，但非常繁杂。
摘自维基百科的图片
其中 为正的奇数，使得： 。
这就是Weierstrass函数的定义，是一个无穷级数。
定理的证明：[2]
引理：M-检测（The Weierstrass M-test）
设 为一个度量空间，对于任意 ，令函数列满足每一个函数都有 。则我们假定对于任意 ，能够存在 使得：
那么我们能断言：若 收敛，则 在 上一致有界。
引理证明：对 ，由数列的柯西审敛法则发现一定存在 ，使得对 ，均有：
所以我们有对 ， ，均有：
所以由函数列的柯西审敛法则发现 在 上一致有界。
引理证毕。
回到原题，我们发现 ，所以 收敛而且 ，所以它满足M-检测引理的条件，即Weierstrass函数 存在且一致有界。由于 中的每一项 在 上连续，而且 一致有界，所以 在 上连续。
下面正式证明不可微性：即对 ，极限 不存在。
随便令一个 ,则对于 ，我们取 使得：
我们记 为：
容易发现： 。
这说明当 时， 必然有 和
所以数列 和 都趋近于 ，只不过一个从上方趋近，一个从下方趋近。
我们有等式：
把两个大求和分别记为 （ 不是无穷的， 是无穷级数）
则由和差化积公式[3]：
由于 且 ，所以 所以存在 使得 。
现在，我们来研究 。我们有：
所以：
而其中：
所以存在 使得 。
所以将 与 合并，我们有：
由题设条件 知 。利用 和 知：
因此， 的符号被 所决定。并且：
上式左边的值变化迅速，已经可以看出来 不存在了。
当然，这对于同样也适用。
用同样的方法，我们有： 。
继续同样的方法，我们有 ，使得 。
再利用 我们得到：
由于 ，则最后一个和式中的项是非负的，并且有： 同样，我们有存在 使得 。此时：
由于之前我们证过：
所以我们仍然有：
证毕！
